Уравнение на права в R2, права и равнина в R3


Категория на документа: Математика


, и.

IV основна задача. Да се напише уравнението на равнина, минаваща през точката и успоредна на векторите и . От условието следва, че нормален на равнината се явява векторът . Тогава търсеното уравнение ще бъде:

.

V основна задача. Да се напише уравнението на равнина, минаваща през точките , и , които не лежат на една права.

Решаването на тази задача можем да сведем към предната, тъй като векторите и са успоредни на равнината. Следователно търсеното уравнение е:

.

Накрая ще отбележим, че ъгълът между две равнини може да бъде определен чрез ъгъла между нормалните им вектори.

Уравнения на права в R3

Нека в R3 е зададена декартова координатна система и права l от пространството. Очевидно тя ще е определена, ако знаем една точка от нея и ненулев вектор , успореден на l (направляващ вектор на правата). Задачата, която си поставяме, е да се напише уравнението на правата. От геометрични съображения (черт. 5) е ясно, че произволна точка .

Но това векторно равенство е еквивалентно на три скаларни равенства, а именно:

черт. 5

Получените уравнения се наричат скаларно-параметрични уравнения на правата l. Ако разрешим всяко от тези уравнения относно t, ще получим уравнението:

.

То се нарича канонично уравнение на права. Да отбележим, че в тези отношения1 се допуска някой от членовете a, b, и c да приема стойност нула, но не и трите заедно.

VI основна задача. Да се напише уравнението на права, минаваща през точките и . Тъй като векторът се явява направляващ за тази права, то нейните скаларно-параметрични уравнения са:

,
а каноничното -

.

Да отбележим, че координатите на всички точки от отсечката L1L2 се получават от горните уравнения, когато .

VII основна задача. Нека и са две пресичащи се равнини. Да се намери уравнението на правата l, която е тяхна пресечница. Тъй като точките на търсената права принадлежат едновременно на двете равнини, то търсеното уравнение е:

VIII основна задача. Дадени са права

и равнина . Да се намерят общите им точки. Очевидно е, че ако точката (x, y, z) е тяхна обща, то нейните координати ще получим от системата:

Последната се решава по-бързо, ако заместим неизвестните x, y, и z от първите три уравнения в четвъртото. По този начин ще получим линейно уравнение с неизвестно t. Броят на неговите решения определя и броя на общите точки на правата и равнината.

В края да отбележим, че задачата за намиране на ъгъл между две прави или между права и равнина се свежда до намиране на ъгъл между вектори.

Заключение

В този параграф зададохме по аналитичен способ (чрез уравнения) геометричните обекти права и равнина. При това тези уравнения винаги бяха линейни с две или три променливи съответно. Естествено възниква въпросът: има ли геометрични обекти, които се описват от уравнения от по-висока степен? Отговорът на този въпрос е положителен и в следващия параграф ще видим това. Разгледани бяха и основните задачи, които възникват във връзка с тези разглеждания.




Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Уравнение на права в R2, права и равнина в R3 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.