Понятие за математически модел и моделиране


Категория на документа: Математика


x + y + z = 100
10x + 5y + 0,5z = 100
където x, y и, z са цели положителни числа. Тази система е неопределена. Ако умножим двете страни на второто уравнение с 2 и почленно ги извадим, получаваме диофантовото уравнение 19х + 9у = 100. Едно частно негово решение е x0 = 1, y0 = 9, следователно всички решения са x = 1 - 9t, y = 9 + 19t, където t е произволно цяло число. Но като вземем предвид, че х и у са цели положителни числа, получаваме неравенствата:

Следователно t = 0 и x = 1, y = 9, z = 90.

Пример 7. Да се намерят размерите на правоъгълен участък земя с лица 6 дка, ако за ограждането му са нужни 320 м телена мрежа.

Ако с х и у означим съответно дължината и ширината на този участък, то математическият модел е системата:
2(x + y) = 320
xy = 6000
Тя е еквивалентна на системата:
x2 - 160x + 6000 = 0
y = 160 - x
от където намираме, че размерите на участъка са 100 м и 60 м.

Пример 8. (Кой е изучавал логика?). На въпроса, кой от учениците А, В и С е изучавал математическа логика, били получени следните отговори:
1. Ако А е изучавал математическа логика, то и В я е изучавал;
2. Не е вярно, че ако С е изучавал математическа логика, то и В я е изучавал.
Кой от тях е изучавал математическа логика?
Да означим съждението "Ученикът А (B, C) е изучавал математическа логика" съответно с a(b,c). Тогава двата отговора се записват съответно така: , които са еквивалентни на v b и с ʌ (Защо?). Тъй като двата отговора се приемат за верни, то е
вярна и конюнкцията им, т.е.
V V (( ʌ с ʌ ) v (b ʌ c ʌ ) )
Понеже V Следователно V
V( , т.е. V(a) = 0, V(b) = 0 и V(c) = 1 или ученикът С е изучавал математическа логика.

Заключение.

В този параграф отделихме внимание на различни математически модели, както и на етапите при построяването им. Имайки предвид целта на тази книга, ние се спряхме по-подробно на построяването на математически модели в училищния курс по математика. За да бъде по-пълна представата ни за моделирането, към този процес ще прибавим прогнозирането и управлението, които са свързани с него процеси. Редица примери от астрономията (теоретично предсказване на съществуването на реални небесни тела), физиката на елементарните частици (теоретично предсказване на съществуването на частици и античастици) показват, че математическите модели играят важна роля в прогнозирането. Изследването чрез математически модели е много по-евтино отколкото построяването на самия физичен модел. При това изследване е възможно да се променят определени параметри на модела, т.е. да се управлява така, че да се постигне в определен смисъл най-добрия (оптималния) модел, а оттам и реалния обект.

Задачи
1. Влак, движейки се със средна скорост 80 км/ч, изминава разстоянието между две гари за 3 часа. За колко време ще измине това разстояние, ако скоростта му е два пъти по-малка?
2. Намерете дължините на страните на триъгълник, ако те са съответно пропорционални на 2, 3 и 4, а периметърът му е равен на 27 см.
3. За направата на порцелан се смесват глина, гипс и пясък, чиито маси са пропорционални на числата 25, 1 и 2. Колко глина, гипс и пясък са необходими, за да се приготви 350 кг смес?
4. Сплав се състои от мед, цинк и никел, чиито маси се отнасят както 13:4:3. Каква е масата на сплавта, ако е известно, че масата на медта е с 2,4 кг повече от тази на никела?
5. Фирма произвежда два вида стругове от тип А и В, чиято обща маса е 2700 кг. Конструкторите след модернизиране намалили теглото на всеки струг от първия вид със 7 %, а от втория - с 5 % и общата им маса станала 2535 кг. Намерете:
А) Масата на всеки струг от старата конструкция;
Б) Икономията на метал за производството на 3000 струга от тип А и от тип В.

6. Във фирма работят 5 мъже и 7 жени, които за 5 работни дни произвеждат 850 детайла. Ако производителността на мъжете се увеличи с 20 %, а на жените - с 10 %, то за тези дни те ще произведат 985 детайла. Намерете дневната производителност на мъжете и жените преди и след повишаване на производителността.

7. Движейки се със скорост 60 км/ч автомобил може да измине дадено разстояние за 3 часа и 15 минути. За какво време ще измине това разстояние по обратния път, ако увеличи скоростта си с 15 км/ч?

8. Движейки се по течението на река кораб изразходва 18 часа. Колко време ще му е необходимо за обратния път, ако скоростта на кораба в спокойна вода е 2 км/ч?

9. Велосипедист, движейки се със скорост 10 км/ч, изминава дадено разстояние за 6 часа. Колко време му е необходимо за обратния път, ако се движи със скорост 12 км/ч?

10. Две туби съдържат различни количества бензин. Ако от първата отлеем 18 литра бензин, а от втората - 12, то във втората туба ще има литра бензин, а от втората - 16, то бензинът останал в първата и бензинът останал във втората туба ще се отнасят както 7:8. Колко литра има във всяка от тубите?

11. (фолклорна задача) За 100 лв. купили 100 играчки от следните видове: слончета, кучета и кончета. Известно е, че едно слонче струва 2 лв., едно куче - 50 ст. и едно конче - 5 лв. по колко играчки от всеки вид са били купени?




Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Понятие за математически модел и моделиране 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.