Питагорейска школа


Категория на документа: Математика



n a M b

a a2 a.b a

N

a.b b2

m

Аналогично (виж фиг. 15).

(a - b)2 = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab +b2.
Фиг. 15

a

a.b b

b2

(a - b)2 a.b

Използваните от питагорейците горепосочени похвати за доказателство на алгебрични тъждества могат да се използват и в съвременнатапрактика като нагледна илюстрация при доказване формулите за съкратено умножение.

В геометричната алгебра питагорейците приемат отсечките за първични елементи. С тях те определяли всички изчислителни операции. Събирането интерпретирали чрез добавяне на една до друга дадена отсечка, изваждането - чрез отделяне на част от дадена отсечка, която част е равна на отсечката, която трябва да се извади. Умножението на отсечки довело до построение на образи в двумерното пространство - например за произведение на отсечките a и b се приемал правоъгълникът със страни a и b. Произведението на три отсечки определяло паралелепипед, а произведението на повече от три множителя не е било познато в геометричната алгебра. Делението било възможно само когато делимото е по-голямо от делителя и се интерпретирало чрез еквивалентни задачи, за така наречените приложения на повърхнина. Ето задача с приблизително такъв текст: "Приложете към отсечката с правоъгълник, равнолицев на дадения правоъгълник ab". Според чертежа (фиг. 16) решението се състои в допирането на правоъгълниците ab и bc един до друг и в построяването на нов правоъгълник, диагоналът на който се явява диагонал на правоъгълника bc, продължен до пресичането на продължението на страната b. Тогава правоъгълникът ab = cx се оказва равнолицев на ab и с това задачата е решена. Този метод позволявал да се решат задачи, които водят до решението на линейни уравнения и се наричал параболически и означава - приложение на лице (площ).
Фиг. 16

c x

a

b

3. Геометричните знания в школата на Питагор

В школата на Питагор голямо внимание се отделяло на въпросите с геометричен характер. Тъй като геометричните проблеми са били обединени с числовите, то се предполага, че от геометричното доказателство на комутативното свойство на произведението възкива определението за лице на квадрат и правоъгълник. А от представянето на числата с геометрични фигури (равнинни, квадратни, триъгълни, телесни числа) се ражда идвята за построяване на правилни многоъгълници, а после и правилни многостени. В това отношение за питагорейците най-голямо значение имало построяването на правилен петоъгълник с помощта на линия и пергел. Решаването на задачи за построение на правилни многоъгълници ги насочва и подпомага при построяване на правилни многостени. Предполага се, че са можели да построяват всички видове правилни многостени:

а) тетраедър - тяло, ограничено от 4 равностранни триъгълника;

б) октаедът - тяло, ограничено от 8 равностранни триъгълника;

в) икосаедър - тяло, ограничено от 20 равностранни триъгълника;

г) хексаедът - тяло, ограничено от 6 правилни четириъгълника;

д) додекаедър - тяло, ограничено от 12 правилни петоъгълника.

Построенията на правилни многоъгълници и многостени считали за много трудни задачи и затова хората, които се занимавали с решаването им придали мистично значение на тези фигури и тела и ги считали за "космически фигури". Гърците ги именували според своите представи за стихии в бита така: тетраедър - огън, октаедър - въздух, икосаедър - вода, хексаедър - Земя, додекаедър - Вселена. Но от всички геометрични тела за най-прекрасно считали кълбото, а от равнинните фигури за идеални са считали правата и окръжността. Интересен е фактът, че Питагор е предполагал, че Земята има кълбовидна форма и е център на Вселената, а Слънцето, Луната и планетите имат собствено движение, отлично от денонощното движение на неподвижните звезди. Може да се каже, че предисторията на хелиоцентричното учение на Коперниковата теория води началото си още от Питагор.




Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Питагорейска школа 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.