Питагорейска школа


Категория на документа: Математика



Счита се още, че питагорейците или техните последователи са въвели в Гърция много удобна система за запис на числата. Тя е взаимствана от финикийската азбука и се изрзява в изображение на числата чрез букви от гръцката азбука и някои букви от финикийската. Означенията на числата с букви са следните: с първите 9 букви от азбуката се записват числата от 1 до 9, със следващите 9 - десетиците (10, 20, ... , 90) и с последните 9 -стотиците (100, 200, ... , 900). Числата, по-големи от 100 се записват със следните символи: запетаята, поставена преди числото, означава хиляди; точката - преди числото - означава десетохиляди. Дробите се записват по твърде особен начин - чрез последователно записване на числителя и удвоения запис на знаменателя. Освен това числителя се придружава от допълнителен знак " | ", а знаменателя - " || ". За разграничаване на числовия от буквания смисъл при запиус на число освен буквата се поставя и черта над нея.

Така записът на числата се извършва по следният начин: 1 -; 2 - ; 3 - ; ...; 10 - ; 20 - ; 100 - .

Числото 128 се записвало така: . Пише се още 1000 - , , 2000- , , 3000 - , , - |||||, - |||||.

От съответните означения на числата се вижда, че при записа им питагореиците са използвали десетичната бройна система.

Обстойното изучаване на числата в школата на Питагор е свързано и с първата до този момент тяхна класификация. Тази класификация има своеобразен характер и в основата ù стоят или геометрични съображения, или съображения с философско-мистичен характер. Геометричните съображения дават основание да се твърди, че у гърците е съществувала геометрична теория. Съдържанието на геометричната теория се състои в това, че за геометричен образ на единицата се приемал квадратът. Всяка негова страна разделяли на равен брой части и през точките на деление прекарвали прави така, че дадения квадрат разделяли на по-малки квадрати, (фиг. 11). Броят на тези малки квадрати представял числата 4, 9 и 16, .... Тези числа наричали квадратни числа. Аналогично Питагорейците представяли правоъгълните (плоскостните) числа, т.е. тези, които се представят с произведение само от неравни множители. Тях са ги изобразявали чрез правоъгълници, разделени на определен брой равнолицеви квадрати. Например, числото 6 са представяли чрез правоъгълник със страни 2 и 3 мерни единици за дължина (фиг. 12).

Фиг. 11

Фиг.12

Числата 2 и 3 се наричали страни на числото 6. Така геометрично са били изобразявани (представяни) "кубичните" и "телесните" числа. "Кубични" се наричали тези числа, които се разлагат на три равни множителя като 1, 8, 27, 64, ... (т.е. 13, 23, 33 и т.н.), а тези които се разлагат само на три неравни множителя - "телесни" (т.е. тези числа, които са обеми на правиъгълни паралелепипеди).

Числата 1, 3, 6, 10, 15, ... питагорейците наричали триъгълни, защото се получават чрез последователно събиране на първите числа от редицата от естествени числа. Например:

3 = 1 + 2; 6 = 1 + 2 + 3; 10 = 1 + 2 + 3 + 4; 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 и т.н.

Самото название "триъгълни" определили поради това, че се получават чрез последователно събиране на кръгове, разположени под гормата на триъгълник. (виж фиг 13).
Фиг. 13

1 3 6 10 15

Освен това всички естествени числа разделяли на два вида - "четни" (мъжки) и "нечетни" (женски). "Съвършени" числа наричали тези числа, чийто сбор на всички техни делители (без самото число) е равен на това число. Например числото 6 е "съвършено", защото 6 = 1 + 2 + 3. А две числа, които притежавали свойството, че всяко число е сбор от делителите на друго число, се наричали "приятелски". И на върроса към Питагор "какво е това приятел?", той отговорил:

"Този, който е другият аз, ей на (ето), както числата 220 и 284".

Действително, числата 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 100 са делители на числото 220, а числата 1, 2, 4, 71 и 142 са делители на числото 284. Сборът на делителите на 220 е равен на 284, а сборът на делителите на 284 е равен на 220. Следователно тези числа изпълняват горепосоченото свойство и са "приятелски" числа според Питагор.

Придаването на мистично значение на числото довело питагорейците до особено почитание на числата 7 и 36. Мистичният смисъл на числото 7 е бил придаден още от вавилонците, но почитанието му е продължено и от питагорейците. А числото 36 им е направило силно впечатление с това, че притежава следните свойства:
1) 36 е сбор от кубовете на първите три естествени числа, т.е. 36 = 13 + 23 + 33;
2) 36 е сбор от първите четири четни числа и първите четири нечетни числа 36 = (2 + 4 + 6 + 8) + (1 + 3 + 5 + 7).

Освен това те са считали, че целит свят е построен на пътвите четири четн и първите четири нечетни числа и най - страшната им клетва била клетвата - числото 36.

Числовият мистицизъм на питагорейците относно отделни числа и числови отношения изиграл отрицателна роля в историята на математиката. Но в същото време извършеното от тях геометрично представяне на числата довело до развитие на математиката. Приносът се състои в това, че геометричните образи на числата питагогейците сливали с представите за тези числа и много от изводите в областта на теорията на числата са се получили в резултат на геометричните съображения. По този начин се достига до твърдението:

Сборът на нечетни последователни числа (включително и 1) е равен на квадратно число.

2. Геометричната алгебра в школата на Питагор.

От геометрочното представяне на числата в школата на Питагор се развила геометричната алгебра. Естествено, че тази алгебра се отличавала от съвременната поради липсата на основното преимущество - символиката. Но в геометричната алгебра на питагорейците съществен белег бил този, че всички изводи се основавали на геометрични съображения. Така и формулата за квадрат на сбор са получавали на базата на геометрични построения. Построението е следното:

Построяват квадрат със страна, равна на сумата на отсечките a и b. През точките M и N построяват прави, успоредни на правите m и n (фиг. 14). От чертежа се вежда, че:

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Фиг. 14



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Питагорейска школа 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.