I5.ЦЕНТРАЛНИ ПРОСТИ АЛГЕБРИ. ТЕОРЕМА НА НЬОТЕР-СКОЛЕМ.ГРУПА НА БРАУЕР. ТЕОРЕМА НА ВЕДЕБЪРН ЗА КРАЙНИТЕ ТЕЛА. ТЕОРЕМА НА ФРОБЕНИС ЗА РЕАЛНИ АЛГЕБРИ С ДЕЛЕНЕ.
Определение 1 - Нека (A,+,.) е пръстен, а Р- поле. Ако А е линейно пространство над Р относно '+' и '.' на елементи от Р и имаме .:АxAA: (ab)=(a)b=a(b), , то А наричаме линейна алгебранад полето Р.
Определение 1' - Нека A е произволно множество и Р е поле. В множеството А въвеждаме операциите '+' и '.' и съпоставяме елемент . Ще казваме, че А е алгебра над полето Р, ако:
1)(A,+,.) е пръстен;
2)А е векторно пространство над Р относно + и умножението с елементи от Р;
3)(ab)=(a)b=a(b), .
наричаме размерност на алгебрата А. Алгебрата А наричаме асоциативна, ако (A,+,.) е асоциативен пръстен. Ще разглеждаме само асоциативни алгебри с 1.
Определение 2 - - център на асоциативната алгебра А.
ЛЕМА 1 - Z(A) е подалгебра на А.
Д-во:
за .
ТЕОРЕМА 1 - Ако А е асоциативна алгебра с 1, над полето Р, то в Z(A) се съдържа подполе изоморфно с Р.
Д-во:
Нека . Изображението е сюрективен хомоморфизъм. Имаме:
;
;
и понеже Р е поле имаме . Нека .
и значи .
Забележка - В този смисъл под алгебра А може да се разбира пръстен А, заедно със зададено подполе съдържащо се в центъра Z(A).
Примери:
1)Всяко поле е едномерна алгебра над себе си;
2)Ако L е разширение на Р, то е алгебра с dimPL=[L:P];
3)V - линейно пространство над Р. За всяко х,у даваме х.у=0 и получаваме алгебра с нулево умножение над Р;
4)P[x] - безкрайномерна алгебра над Р,Р[x1,...,xn] също;
5)Пръстен M(n,P) от квадратни матрици nxn с елементи от Р е крайномерна алгебра с dimPМ(n,P)=n2.
За алгебрите може да пренесем и основните понятия от теорията на пръстените с малки уточнения за векторно пространство.
Определение 3 - Нека A и B са алгебри над полето P,a :AB наричаме хомоморфизъм, ако:
1) е хомоморфизъм на пръстените А и В;
2)(a+b)=(a)+(b);
3)(ab)=(a)(b);
4)(a)=(a) за a,bA и P. Бележим AB.
Определение 4 - Алгебрата А наричаме централна проста алгебра над полето Р, ако пръстена А е прост (т.е. и в А няма идеали от 0 и А) и .
ТЕОРЕМА 2(Ведербърн) - Всяко крайно тяло е поле.
Редактор: Снежина Стоянова
