Уравнение на права в R2, права и равнина в R3


Категория на документа: Математика



Уравнение на права в R2, права и равнина в R3

Въведение

В този и следващия параграф ще се спрем накратко на някои основни задачи, които се решават в т.нар. аналитична геометрия. В нея за геометричните обекти: права; равнина; крива и повърхнина се извеждат алгебрични уравнения, които се удовлетворяват от координатите на произволна тяхна точка. По този начин решаването на геометрични задачи се свежда до решаването на алгебрични уравнения, системи и др.

Отначало ще разгледаме някои основни видове уравнения, задаващи правите в равнината (R2), както и решаването на основните геометрични задачи, възникващи там. След това ще преминем към разглеждането им в R3 (пространството).

Уравнения на права в R2

Нека в R2 е зададена декартовата координатна система Oxy и l е произволна права от тази равнина. Съществуват различни начини за еднозначното определяне на l. Например, тя е определена напълно, ако знаем една точка от нея и един ненулев вектор , който е перпендикулярен на l (черт. 1).

черт. 1

Поставяме си задачата: да се напише уравнението на правата l, при тези условия, което означава да се намери уравнение, удовлетворяващо се от координатите на всяка точка (и само от тях) на правата l. От геометрични съображения е ясно, че произволна точка

и следователно . Но и тогава

,

където . По този начин получихме, че координатите на произволна точка от правата удовлетворяват линейното уравнение . Може да се покаже и обратното. Полученото уравнение се нарича общо уравнение на правата l, а ненулевият вектор (поне едно от числата a и b е различно от нула) се нарича нормален за правата. Обикновено фактът, че правата l има горното уравнение, се означава с .

Векторът е перпендикулярен на , защото , и следователно е колинеарен с правата. Нарича се направляващ на правата l.

Сега ще направим изследване на полученото уравнение, в следния смисъл: в зависимост от стойностите, които приемат коефициентите му a, b и c, ще определим частното положение, което има правата l, относно координатната система.

1) Нека . Тогава очевидно координатите на началото на координатната система удовлетворяват уравнението, т.е. ;

2) Нека и . Тогава направляващият вектор на правата е , т.е. е перпендикулярен на оста (защо?) и следователно правата е успоредна на оста . В частност, ако и , то получаваме уравнението на оста ;

3) Нека и . Тогава направляващият вектор е , т.е. той е перпендикулярен на оста и следователно правата е успоредна на оста . В частност, ако и , то получаваме уравнението на оста .

От казаното дотук се вижда, че всяка права притежава общо уравнение. За някои прави съществуват и други видове уравнения, които ги задават еднозначно. Нека и . Тогава

,

където и .

черт. 2

Ако положим в последното уравнение , то получаваме . Последното означава, че правата пресича оста в точка (черт. 2). Аналогично получаваме, че нейната пресечна точка с оста е . Числата m и n се наричат отрези на правата от координатните оси, а уравнението

отрезово уравнение на права.

Ако , т.е. правата не е перпендикулярна на оста , то от ще получим или , където . От правоъгълния триъгълник (черт. 2) намираме , където е ъгълът, който правата l сключва с положителната посока на оста . Числото k се нарича ъглов коефициент на правата, а уравнението - декартово или обикновено уравнение на права.

Сега ще преминем към разглеждането на някои основни задачи в R2.

I основна задача. Да се напише уравнението на права l по дадена точка от нея и ъглов коефициент, равен на k. От условието следва съществуването на декартовото уравнение , където неизвестното n определяме от условието




Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Уравнение на права в R2, права и равнина в R3 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.