Теорема на пресечните точки и принцип на минималната диференциация


Категория на документа: Математика


Теорема на пресечните точки и принцип на минималната диференциация

Вилхелм Лаунхард (Wilhelm Launhardt) живее и работи в Германия в края на ХІХ в. Много западноевропейски учени го приемат за основателят на математическия икономикс /.../1. Неговата най-значителна разработка е публикуваният през 1885г. труд "Математически основи на икономикса" ("Mathematische Begründung der Volkswirtschaftslehre"). Лаунхард посвещава голяма част от трудовете си на проблемите от икономиката на труда, публичните финанси и икономиката на технологиите. Основният му принос към икономическата мисъл обаче, се състои в основаването на локализационната теория /.../.

Вилхелм Лаунхард изследва проблемите за локализиране на индустриални обекти и в частност тези, свързани с изграждането на железопътни линии. Въпреки това трудовете му имат важно значение и за развитието на локализационната теория в сферата на търговията. Най-значимите разработки на Лаунхард, посветени на проблемите на месторазполагането са: "Определяне на търговските маршрути по автомобилни и железопътни артерии" ("Kommerzielle Trassierung der Verkehrswege''), публикувана през 1872; "Определяне на оптималното местоположение на индустриална зона" ("Die Bestimmung des zweckmäβigsten Standorts einer gewerblichen Anlage"), излязла през 1882 г. и "Икономически въпроси, свързани с железопътния превоз" ("Wirtschaftliche Fragen des Eisenbahnwesens"), публикувана през 1883 г.

Основният принос на Вилхелм Лаунхард към развитието на локализационната теория е в разработването на Теоремата на пресечните точки (Node Theorem), чрез която той полага основите на пространствената икономическа теория (spatial economic theory) /.../. Чрез своята Теорема на пресечните точки Лаунхард за пръв път обяснява принципите на пространствената конкуренция и предлага метод за определяне на границите на пазарните зони.

Вилхелм Лаунхард развива своята Теорема на пресечните точки в два труда. В по-ранната си разработка от 1869 г. "За полезността на пътищата и определянето на маршрутите" /Launhardt, W. (1869), Über Rentabilität und Richtungsfeststellung der Strassen, (On the Usefulness of Roads and Determination of Routing), Schmorl and von Seefeld, Hannover/, Лаунхард търси отговор на въпроса какъв е оптималния начин за свързване на три обекта, разположени на различни места - с "V"-образни или с "Y"-образни пътища (фиг.1 а и б). Лаунхард решава този проблем като взима под внимание условието за минимизиране на транспортните разходи.

Фиг.1 - Теорема на пресечните точки - свързване на три обекта:

а) с "V"-образни пътища б) с "Y"-образни пътища

През 1872г. в "Определяне на търговските маршрути по автомобилни и железопътни артерии" ("`Kommerzielle Trassierung der Verkehrswege'') той формулира проблема по-прецизно по следния начин "...планирането и изграждането на транспортни връзки изисква ...минимизиране на общите разходи за транспорт и разходите за поддръжка"/ Launhardt, W. (1872), ``Kommerzielle Trassierung der Verkehrswege'', ("Commercial routing of roads and railroads''), Zeitschrift des Hannoverschen Architekten- und Ingenieurvereins, pp. 520/.

Урсула Бекхаус изтъква следното: "По своята същност Теоремата за пресечените точки е графичното решение на задача за свързване на три точки... Получените като резултат отсечки между трите точки се обозначават с термина "търговски маршрут"". Теоретично изведеният търговски маршрут се приспособява към физическите особености на географската зона и въз основа на това се построява действителен път, който се нарича "технически маршрут". Задачата, която решава Лаунхард чрез своята Теорема за пресечените точки е следната: съществува търговски маршрут, който свързва обектите А и В по права линия АВ; в близост до тях се намира трети обект С; какъв е оптималният начин за свързване на тези три обекта. Лаунхард предлага трите обекта да бъдат свързани с "Y"-образни пътища (Фиг.1б) вместо с прави линии, формиращи триъгълника АВС.

През 1882 г Вилхелм Лаунхард публикува своя труд "Определяне на оптималното местоположение на индустриална зона", (Launhardt, W. (1882), ``Die Bestimmung des zweckmäβigsten Standorts einer gewerblichen Anlage'', (``Determining the optimal location of an industrial site''), Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Vol. 26), в който описва практическото приложение на Теоремата на пресечните точки за определяне на най-подходящото месторазполагане на металургична пещ. Лаунхард твърди, че оптималното местоположение на индустриален обект се определя предимно в зависимост от разположението на суровини и други ресурси, необходими за производството и от разположението на точката на крайно потребление на готовия продукт. Решавайки задачата за избор на оптимално местоположение на металургична пещ, Лаунхард търси отговор на въпроса: къде трябва да бъде построена металургична пещ, ако в т.А се намира мина за желязна руда, в т.В - мина за добив на въглища, а в т.С - крайният пункт за потребление на готовия продукт. Лаунхард дава следния отговор: металургичната пещ трябва да бъде разположена в една от точките А, В или С или във вътрешността на образувания триъгълник АВС. Според Лаунхард оптималното местоположение на пещта е в точката, в която се минимизират транспортните разходи. Тези разходи според него са пропорционални на разстоянието между двата обекта и на масата на транспортираните товари. Лаунхард решава задачата графично като твърди, че оптималното местоположение на индустриалния обект "металургична пещ" е в т.Р (фиг.2).

Фиг.2 - Избор на оптимално местоположение на индустриален обект - "Триъгълник на Лаунхард" (Лаунхард 1882, стр.107)

Според Лаунхард точките А, В и С могат да обозначават не само местоположението на три обекта, но и "известни транспортни разходи (на километър) при три входни точки към т.Р" (Лаунхард 1882, стр. 106). Като използва графичните обозначения в "Триъгълника на Лаунхард", Лаунхард представя общите транспортни разходи чрез равенството:

S = Ar + Bs + Ct,
където r, s и t са съответно разстоянията от т. А, В и С до т.Р

Лаунхард определя местоположението на т.Р като решава задачата по геометричен път, като прави допускането, че транспортните разходи са постоянна величина. Лаунхард също налага и ограничението местоположението на т. Р да бъде оптимално спрямо не повече от три други точки А, В и С.

Въпреки че третират въпросите за избора на оптимално местоположение на индустриален обект, трудовете на Лаунхард са послужили за основа за разработването на теории за локализирането и на търговски обекти. Най-значимият принос на Лаунхард за локализационната теория в търговията е в предлаганите от него методи за определяне на границите на пазарните зони.

Лаунхард формулира теорията за пазарните зони в трета глава на "Математически основи на икономикса". Там той твърди, че съществуват ограничения при транспортирането на стоки, които ограничения служат за определяне границите на пазарните зони. Според Лаунхард тези ограничения са следните: стойност на превоза; полезността на стоката за потребителите; поведение на конкурентите /.../. Той разграничава два типа пазарни зони: зона на продажбите (sales areas) и зона на доставките (areas of procurement). Именно разработките му относно продажбените зони изиграват важна роля за развитието на локализационната теория в търговията. Заслужават да се отбележат трудовете в тази насока на Шнайдер (Schneider) [Schneider, E. (1934), ``Preisbildung und Preispolitik unter Berücksichtigung der geographischen Verteilung von Erzeugern und Verbrauchern'', (``Price setting and price policy under consideration of the spatial distribution of producers and consumers''), in Spiethoff, A. (Ed.), Schmollers Jahrbuch für Gesetzgebung, Verwaltung und Volkswirtschaft im Deutschen Reiche, Part 1, Vol. І; Schneider, E. (1935), ``Bemerkungen zu einer Theorie der Raumwirtschaft'', (``Remarks to a theory of spatial economics''), Еconometrica, Vol. III], Паландер (Palander) [Palander, T. (1935), Beiträge zur Standortstheorie, (Contributions to Location Theory), Stockholmer dissertation, Uppsala.] и Льош (Lösch) [Lösch, A. (1944), The Economics of Location, translated from the second revised edition by William H. Wagloen with the assistance of Wolfgang F. Stolper, Yale University Press, New Haven, CT, 1967], които, опирайки се на постигнатото от Лаунхард дават своя принос за развитието на локализационната теория.

Лаунхард твърди, че границите на продажбените зони се оформят в зависимост от ограниченията или границите на транспортиране /.../. За да определи очертанията на една продажбена зона Лаунхард изследва ограниченията за транспортирането на съответните стоки. Той дефинира крайната цена на една стока в пунктовете на крайно потребление като p + fz, където р е цената f.o.b. в точката на произвоство, f е нормата на превоз (freight rate), а z е разстоянието между точката на потребление и точката на производство. Поведението на потребителите се изразява чрез функцията на полезност във вида y = ax, където у е полезността, х е количеството от съответната стока, а a = dy/dx изразява пределната полезност. Величината, която обвързва пределната полезност с цената е стойността w. Тъй като при равновесие потребителят възприема само една стойност w, то границата на транспортиране z може да се определи от равенството (Launhardt, W. (1885), Mathematische Begründung der Volkswirtschaftslehre (Mathematical Foundations of Economics), Engelmann, Leipzig, 1963 (Reprint of 1885). With a Foreword by Erich Schneider, Scientia Verlag, Aalen., p. 52).):

или

Относно формата на продажбената зона Лаунхард твърди, че "ако продуктът може да бъде произведен в точката на производство в произволни количества и ако релевантните икономически условия са еднакви във всички посоки около тази точка" (Launhardt, 1885, p. 150), то тогава продажбената зона придобива формата на окръжност. Радиусът на тази окръжност ще бъде границата на транспортиране z′ и продажбената зона може да бъде определена както следва:

Лаунхард интерпретира това равенство като изтъква, че "размерът на продажбената зона е обратно пропорционален на квадрата на нормата на превоз" (Лаунхард дефинира понятието "норма на превоз" като разходите за превозването на единица от продукта за единица от разстоянието) (Лаунхард 1885, стр.150). Относно размера на реализираните продажби Лаунхард твърди следното: "Обема на продажбите е право пропорционален на третата производна на транспортните разходи и обратно пропорционален на квадрата на нормата на превоз" (Лаунхард 1885, стр.151).

По-късно Льош - един от последователите на Лаунхард, критикува някои от заключенията му относно продажбените зони в "Икономикс на локализацията" (Lösch, A. (1944), The Economics of Location, translated from the second revised edition by William H. Wagloen with the assistance of Wolfgang F. Stolper, Yale University Press, New Haven, CT, 1967). Льош твърди, че нарастване в такава степен на продажбите в резултат от намаляване на нормата на превоз е нереалистично (Льош, 1944, стр.122). Неговият аргумент в подкрепа на това твърдение е, че намаляването на нормите на превоз служи като примамка за навлизането на нови конкуренти на пазара, което от своя страна неминуемо води до намаляване на продажбите на съществуващите обекти.

Изводите на Лаунхард и най-вече неговата Теорема на пресечните точки и Теорията за пазарните зони трудно могат да бъдат приложени в съвременния локализационен анализ на търговските обекти. Основна причина за това е факта, че разсъжденията и изводите на Лаунхард са правени за индустриален обект. Според Теоремата на пресечните точки оптималното местоположение на обекта се определя спрямо точката на потребление на готовата продукция и точките на материално снабдяване с ресурси за производството. Оптималното местоположение на обекта е в точката, в която транспортните разходи се минимизират. Принципите за месторазполагане на търговски обект обаче, значително се различават от тези за индустриален такъв. Задачата, която решава Лаунхард трудно би могла да послужи за намиране на отговора за оптималното месторазполагане на търговски обект. Във вида, в който Лаунхард я решава тя би имала следната формулировка: да се намери най-правилното място за изграждане на търговски обект спрямо местоположението на потребителите и местоположението на доставчиците. Тъй като анализа на Лаунхард налага строгото ограничение точките, спрямо които се търси оптималното местоположение на обекта да не бъдат повече от три, то Теоремата на пресечните точки става практически неприложима в търговията. На първо място местоположението на клиентите на един търговски обект не може да се разглежда като една точка, тъй като те са произволно разпръснати в пространството. Освен това, в повечето случаи, стоките в търговските обекти се осигуряват от множество доставчици. Тяхното местонахождение също не може да бъде ограничено до една или две точки в пространството.

Друга причина за ограничената приложимост на теориите на Лаунхард се съдържа във факта, че икономическите условия от неговото време и тези от нашето съвремие са много различни. Поведението на потребителите в наши дни се определя от множество различни фактори. И тъй като в моделите на Лаунхард то се определя единствено на база минимизиране на транспортните разходи, прилагането на тези модели е ограничено. Съвременният потребител е движен от далеч по-сложна мотивация в сравнение със своя предшественик. Често пъти потребителите правят своя избор в зависимост от имиджа на обектите, промоционните кампании в тях, качеството на стоките или ниво на обслужването, пренебрегвайки изцяло условието за минимизиране на транспортните разходи. При разработването на своята Теория за пазарните зони, Лаунхард базира своите разсъждения върху твърдението, че границите на пазарните зони се определят от ограниченията при транспортирането на стоките. В съвременното стопанство обаче, транспортирането на стоките не е от толкова голямо значение за потребителите.

Идеите на Вилхелм Лаунхард срещат противоречиви отзиви още сред съвременниците му. Бил е критикуван предимно в две насоки - на първо място, математическите методи, приложени в икономическата теория са се възприемали от икономистите по онова време като абстрактни и прекалено усложнени; на второ място се е смятало, че неговите научни приноси се отнасят по-скоро към инженерната, отколкото към икономическата наука. /..., стр. 47/. Въпреки критиката и неразбирането, с които първоначално са били посрещнати идеите на Лаунхард впоследствие придобиват множество привърженици. Сред най-изтъкнатите от тях са: Харолд Хотелинг (Harold Hotelling), Еужен Фон Бьом-Баверк (Eugen von Böhm-Bawerk), Август Льош (August Lösch), Ханс Мьолер (Hans Möller), Торд Паландер (Tord Palander), Ерих Шнайдер (Erich Schneider), Йозеф Шумпетер (Joseph Schumpeter), Алфред Вебер (Alfred Weber) и Кнут Виксел (Knut Wicksell).

За съвременната локализационна теория най-голям принос има творчеството на Харолд Хотелинг, един от най-видните привърженици и последователи на Вилхелм Лаунхард. Основният принос на Хотелинг към локализационната теория се състои във формулирания от него принцип на минималната диференциация. Според редица изследователи този принцип се нарежда редом до Теорията за централното място на Кристолер и Закона за гравитация на продажбите на дребно на Райли по спепен на принос към развитието на локализационната теория/.../2. Най-значимият труд на Хотелинг, в който той за пръв път представя своя принцип на минималната диференциация е "Стабилност на конкуренцията" (Stability in Competition), публикуван от "Ди Икономик Джърнъл" (The Economic Jurnal) през 1929 г. Според Стефан Браун принципът представлява "опростена и лесно запомняща се илюстрация за склонността на сходните търговски обекти да образуват струпвания" /..., стр.452/.




Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Теорема на пресечните точки и принцип на минималната диференциация 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.