Понятие за математически модел и моделиране


Категория на документа: Математика


Друга класификация може да бъде извършена според тяхната определеност:
- Детерминиран - моделираният процес протича строго определено, т.е. когато се реализират условията за неговото протичане, той винаги се осъществява по един и същ начин и крайният резултат е еднакъв;
- Недетерминиран - моделираният процес има случаен характер, т.е. при неговото протичане се намесват случайни фактори.
По отношение на принадлежността на моделираните обекти имаме: модели в математиката; математически модели във физиката; математически модели в химията; математически модели в биологията; математически модели в икономиката; математически модели в социологията; математически модели в педагогиката и т.н. Методът на математическо моделиране навлиза постепенно и в такива частни науки, които на пръв поглед са твърде далечни от математиката.

Математически модели в училищния курс по математика

Математическо моделиране в училищния курс по математика имаме, когато решаваме текстови задачи. Етапите при построяването на математическите модели, за които говорихме в предната точка, важат и за тези модели. От методична гледна точка е добре при решаването на текстови задачи да се имат предвид следните общи указания:
a) За неизвестни обикновено се избират състояния на търсените величини. Но понякога е удобно да се изберат състояния на други, които участват в по-прости зависимости (уравнения, неравенства и др.). Определят се допустимите стойности на състоянията на участващите величини;
b) Стойностите на състоянията на величини, участващи в условието на задачата, се изразяват съответно чрез една и съща мерна единица;
c) Използвайки условието на задачата се определят всички връзки между състоянията на величините, участващи в него, т.е. преминава се от словесната формулировка към формалния математически запис. По този начин се получава (съставя) математически модел (уравнение, неравенство и т.н.)
d) В процеса на решаване на математическия модел трябва да се търсят различни методи за това;
e) Да се провери дали получените решения съответстват на условието на задачата: проверка за принадлежност на областта на допустимите стойности на състоянията на неизвестните величини на математическия модел; проверка на правилността на тяхното определяне и др.

По-долу ще разгледаме, в качеството на примери, няколко математически модела.

Пример 1. Разделете числото 180 на части, пропорционални на 5 и 7.

Ако означим с х големината на едната част от числото 180, то другата ще бъде 180 - х. Тогава (съгласно условието) математическият модел ще бъде пропорцията:

Прилагайки свойството на пропорцията получаваме линейното уравнение 7х = 900 - 5х, т.е. 12х = 900, откъдето намираме х = 75. Следователно числото 180 се разделя на частите 75 и 180 - 75 = 105.

Пример 2. За 8 часа работник произвежда 70 детайла. Колко часа са му необходими за производството на 490 детайла, при условие че производителността му е постоянна, тогава произведените детайли са право пропорционални на времето за производство.

Следователно (8 / x) = (70 / 490), x > 0, т.е. x = 56 h.

Пример 3. Една тръба пълни басейн с 3 часа по-бързо от втора. Ако той се пълни от двете тръби общо 10 часа и след това само от втората, то басейнът ще се напълни след 5 часа и 45 минути. За колко време всяка от тръбите може да го напълни сама?

Нека х часа е времето, за което първата пълни сама басейна. Тогава втората ще го напълни за (x + 3) часа, а самият математически модел на задачата е уравнението
10 (Защо?)
Това дробно рационално уравнение е еквивалентно на квадратното уравнение 4х2 - 91х - 120 = 0, т.е. х = - или х = 24. Следователно, първата тръба ще напълни басейна за 24 часа, а втората - за 27 часа.

Пример 4. Кораб трябвало да измине 140 км по течението на някаква река и 124 км срещу течението за не повече от 4 часа. Каква трябва да бъде скоростта му в спокойна вода, ако скоростта на течението е 4 км/ч?

Ако скоростта на кораба в спокойна вода е х км/ч, то математическият модел на задачата е неравенството:

Решавайки последното намираме, че скоростта му трябва да е по-голяма или равна на 66 км/ч.

Пример 5. Трима работници могат да извършат определена работа заедно за 4 дни. Ако работят само първите двама работника 6 дни, ще остане за довършване една десета част от работата. За колко дни всеки работник може да извърши сам цялата работа, ако първият работник за три дни извършва толкова работа, колкото третият работник за два дни?

Ако с u, v и w дни означим съответно времето, за което всеки от тримата работници ще свърши работата сам, то математическия модел е системата:

Полагайки 1/u = x, 1/v = y и 1/w = z получаваме линейната система:
x + y +z =
x + y =
3x - 2z = 0
чиито решения намираме, например, по формулите на Крамер. Тогава u = 15, v = 12 и w = 10 дни.

Пример 6. (фолклорна задача) Пастир пасял 100 говеда и за тях му плащали общо 100 лв. За всеки вол получавал по 10 лв., за всяка крава по 5 лв., а за всяко теле по 50 ст. Колко са били воловете, кравите и телетата?

Ако с x, y и, z означим съответно броя на воловете, кравите и телетата, то математическият модел на задачата е системата:



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Понятие за математически модел и моделиране 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.