Понятие за математически модел и моделиране


Категория на документа: Математика


Понятие за математически модел и моделиране

Въведение

В своето историческо развитие математиката винаги е била тясно свързана с нейното практическо приложение. Още в древността се появява нуждата от развитие на дадени математически методи, за да се решат възникнали практически задачи. Например, след природни бедствия (разливане на реки и др.) са били заличавани границите на земите, които хората са обработвали и те е трябвало да намерят съответните форми и размери така, че да бъде възстановена същата площ, която всеки е притежавал преди бедствието.

От друга страна математиката се е развивала и от нуждите на своята вътрешна логика, т.е. на абстрактно ниво, като често пъти, по-късно, с развитието на самата математика или други науки, тази абстракция е намирала своето приложение. Пример за това е геометрията на Лобачевски-Бойяи, намерила приложение по-късно както в самата геометрия, така и във физиката - в така наречената специална теория на относителността (Айнщайн, Лоренци и др.)

На съвременния етап на развитие на познанието много негови клонове са немислими без приложението на математиката и това предизвиква появата на нови нейни дялове като математическа статистика - наука изучаваща методите за обработка на резултатите от дадено наблюдение, математическа икономика - изучаваща моделите в икономиката и т.н. Разбира се, не бива да изпускаме в това изброяване традиционните науки - физика, химия и биология, където математическите методи са едни от основните средства за изследване на процесите и явленията в тях.

Ето защо математиката трябва да се преподава така, че този процес да съответства на нейната тясна връзка с останалите науки. Разбира се, тази връзка трябва да е взаимна.

Понятие за математически модел

Приложението на математиката в другите науки се изразява най-вече в изследването на така наречения математически модел, описващ с определена точност даден реален процес. Що се отнася до построяването на самия математически модел - това е сложен процес, в който основна роля имат съответните специалисти от частните науки, в които се прилагат математическите методи. Да отбележим, че с развитието на електронно-изчислителната техника, математическото моделиране стана общо-научен метод, който се наблюдава по същество в по-голямата част от сферата на научното познание.

Под модел в широкия смисъл на думата се разбира образ, описание, чертеж или първообраз на някакъв обект, съвкупност от обекти, явления. Например, географският глобус може да се разглежда като модел на земното кълбо. Нашата задача е да изясним понятието математически модел.

Фр. Пол дава следното "определение" на това понятие в научно-фантастичния си разказ "Схематичният човек". "Трябва да Ви кажа какво е математически модел, нали? Добре. Много просто. Това е един вид картина на нещо, направена от числа. Вие я използвате, понеже е по-лесно да накарате числата да се движат, отколкото да накарате истинските неща да се движат." Макар и в забавна форма, тук са отразени две от характерните черти на математическите модели - тяхната абстрактност и предимството им пред механичните.

Определение 1. Математическият модел на даден обект, процес или явление е система от математически зависимости, които описват техни характеристики.

Следователно, създаването на даден математически модел изисква да се направи един преход от реалния обект към абстрактния математически модел, като се изостави маловажното, несъщественото за обекта, а се вземат предвид само най-съществените величини, които го характеризират.

Нютон оприличава този процес на превод на текст от един език на друг. Едно изречение се превежда лесно, ако може да се преведе дума по дума, но когато то съдържа идиоми, такъв превод е невъзможен и в този случай се обръща по-малко внимание на отделните думи, а повече на цялостния смисъл. Ето защо в процеса на съставянето на математическия модел се използват двата метода на научното познание: анализ (дословно - разлагане, разчленяване, разбор) - посредством разлагане на обекта на съставни части се отделят неговите определящи характеристики; синтез (дословно - съединяване, събиране) е метод за изследване, изучаване на обекта в неговата цялост, взаимната връзка между отделните му части. По този начин се намират връзките между отделните му характеристики.

От казаното дотук се вижда, че математическият модел трябва да отразява съществените особености на моделирания обект, а второстепенните да бъдат изоставени. Това се постига чрез подходящ анализ. От друга страна, математическият модел трябва да бъде достатъчно опростен, за да може да бъде изследван, но и същевременно в достатъчна степен да отговаря на реалния обект, да го "описва". Това се постига чрез подходящ синтез.

При по-сложни обекти се построяват по няколко модела, които ги описват с една или друга точност. Например, понякога на първия етап построяваме така наречения линеен математически модел (уравненията, неравенствата и др., които го задават, са линейни). Но ако той не отговаря на нашите изисквания за точност, чрез прецизиране на връзките между отделните основни величини (характеристики), стигаме до построяването на така наречения нелинеен метод.

Етапи при построяването на математическия модел

Етапите на моделирането могат да се опишат по следния начин: I етап - построяване на математическия модел. На базата на проведен анализ (наблюдения, опити и др.) се определят основните величини, характеризиращи реалния обект. Откриват се връзките (зависимостите) помежду им и се записват чрез операции и релации. Получените по този начин формули, уравнения и др. представляват математическия модел на този обект. Така дадената задача се записва на математичен "език" и тя може да бъде решавана и изследвана с математически методи.

В много приложни задачи този етап е един от най-трудните, тъй като необходимите за това знания са на границата между поне две частни науки, едната от които е математическата, т.е. налага се съчетаването на методите на тези частни науки, откъдето произтича и сложността.

II етап - решаване и изследване на математическия модел. В този етап се изоставя реалния обект и се решава само математическата задача (математически модел). Важна роля тук, освен математическия апарат, има и изчислителната техника. Освен това, трябва да се отбележи, че понякога различни по същество процеси се описват с един и същ математически модел. Например, едно и също по вид диференциално уравнение (уравнение, в което участват и производните на неизвестната величина) описва радиоактивното разпадане, процесите на топлообмена и др. това дава основание такива типични математически задачи да се разглеждат самостоятелно, абстрахирайки се от изучаваните явления.

III етап - оценяване пригодността на модела. Тъй като математическият модел е построен на базата на известно опростяване на връзките на отделните величини, то резултатите, които се получават от него, са приблизителни. В този етап се изяснява доколко тези резултати се съгласуват с наблюденията (опитните резултати и др.) върху реалния обект. По този начин се получава оценка за пригодността на модела за изследване на реалния обект, както и границите на приложимостта му за това. Ако тази оценка не е удовлетворителна, тогава се налага доуточняване, допълване на модела. Възможно е също така да се окаже, че той е излишно усложнен, а дадената цел може да бъде постигната с по-опростен модел. Всичко това води до подобряване на модела.

IV етап - усъвършенстване на модела. Във връзка с получените нови резултати се прави анализ на математическия модел и може да се окаже, че получените резултати на даден негов етап не съответстват на новите ни знания за явлението. Тогава е необходимо да се построи нов, по-съвършен модел. Историята изобилства от такива примери. Типичен в това отношение е моделът на Слънчевата система. Първичният анализ на наблюденията на звездното небе още в най-дълбока древност позволява от огромното множество небесни светила да се отделят планетите като обекти за изучаване. Така Птоломей изгражда първия модел на Слънчевата система - геоцентричния, според който планетите обикалят около Земята, която е център на Вселената. През ХVII век Коперник формулира трите закона за движението на планетите:
1. Всички планети се движат по елипси и Слънцето се намира в един от фокусите им;
2. При движението си радиусът R, който свързва дадена планета със Слънцето, "измита" равни площи за равни интервали от време;
3. Между голямата полуос А на елипсата и периода Т на обикаляне на планетата по нея съществува връзката А3:Т2=const

По такъв начин се дава описание на движението на планетите без да се посочват причините за характера на това движение. Това постига Нютон в края на XVII век. Използвайки законите на Кеплер, той прави твърде смелото за онова време предположение, че свободното падане на телата и движението на Луната около Слънцето става по силата на един и същ принцип (mg=G). Този пример много добре илюстрира процеса на моделиране, когато реалният обект е твърде сложен.

Да отбележим, че тези етапи не бива да се схващат дословно като строга последователност. Понякога при построяването на даден математически модел се налага многократен преход от един етап към друг. При по-прости модели някой от тях може да се изпусне. Изброяването на тези етапи е, по същество, моделиране на сложния процес на абстракция, създаващ математически модел.

Математическите модели могат да се класифицират по различните признаци. Ние вече споменахме за линеен и нелинеен математически модел (според вида на съответните уравнения, неравенства и т.н.)




Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Понятие за математически модел и моделиране 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.