Интеграл на Риман


Категория на документа: Математика


 1 Тема:Интеграл на Риман
Дефиниция:
Числото I се нарича определен интеграл на Риман от функцията f, върху интервал [a,b], ако
(6)
∀ϵ>0,∃δ=δ(ϵ)>0:∀τ={xi}ni=0:δτ<δ,∀c={ci}ni=1:ci∈[xi−1,xi]⇒|στ(f,c)−I|<ϵ
С колкото "по-тънки" правоъгълници покриваме функцията, толкова по-близко приближение ще получваме. Горната формула ни казва, че ако всички правоъгълници са безкрайно тънки(големината на разбиването клони към 0), то ще получим безкрайно точно приближение на функцията.
Следната дефиниция е по-кратка и е еквивалентна, но пропуска да опише всичко междинно което използва, затова на изпит не се приема:
(7)
I=limδτ→0στ(f,c)
Интеграл се означава така:
(8)
I=∫baf(x)dx
Забележка: По никакъв начин не е гарантирано, че горното число I всъщност съществува.
Дефиниция:
Нека f(x) е дефинирана върху интервала [a,b]. f(x) е интегруема върху интервала [a,b] ако съществува определен интеграл от f(x) върху [a,b]. В противен случай функцията не е интегруема върху този интервал.
Забележка: Областта е [a,b] - макар да не е написана във всички дефиниции, всяко разбиване е в [a,b]. На изпит трябва да се повториш десетина пъти1.

Малка и голяма суми на Дарбу
Дефиниция:

Нека f(x) е ограничена върху [a,b]
τ e разбиване на интервала [a,b]
(1)
mi=infx∈[xi−1,xi]f(x);→sτ=∑i=1nmiΔxiMi=supx∈[xi−1,xi]f(x);→Sτ=∑i=1nMiΔxi
Това са съответно малка и голяма суми на Дарбу.Те са важни, защото дават долна и горна граница на всички суми на Риман при фиксирано разбиване τ. Наборът на малката сума са най-малките стойности на f(x) във всеки интервал, а на голямата - най-големите.(което опростява донякъде работата). Сега ще разгледаме 5 свойства, които ще ни помогнат да докажем така наречения критерий за интегруемост, който помага да разберем дали дадена функция е интегруема, или не. (Както се досещате теоремата ще ни дава по-обозрим начин от същинската дефиниция).
2.Тема:Свойства на римановия интеграл:аритметични действия,неравенства
1свойство: Интеграл върху интервал с дължина 0.
∫aaf(x) dx=0a 2 свойство: интегралът всъщност е линеен функционал
∫ba[f(x)±g(x)] dx∫baλf(x) dx==∫baf(x) dx±∫bag(x) dxλ∫baf(x) dx
Разбира се функциите f, g са интегруеми върху [a, b] и λ е реално.
3 свойство:Интеграл от неотрицателна функция е неотрицателно число:
f(x) integrable over [a,b] and f(x)≥0, ∀x∈[a,b]⟹I=∫baf(x) dx≥0
4 свойство: ......

3.Тема: Класове интегруеми функций

Критерий 1 (непрекъснатост)
Теорема:
Ако f(x) e непрекъсната върху [a, b], то f(x) е интегруема върху [a, b].
Доказателство:
Щом функцията е непрекъсната върху крайния затворен интервал [a, b], то тя е равномерно непрекъсната. Това значи, че:
∀ϵ>0, ∃δ=δx(ϵ)>0:∀x′,x′′∈[a,b],|x′−x′′|<δ⟹|f(x′)−f(x′′)|<ϵ (⋆)
Сега използваме критерия за интегруемост с осцилация:
∀ϵ>0, ∃δ=δx(ϵb−a)>0:∀τ={xi}ni=0, δτ<δ:ωi(f)=Th.supx′,x′′∈[xi−1,xi]|f(x′)−f(x′′)|≤(⋆)ϵb−a⟹∑i=1nωi(f)Δxi≤∑i=1nϵb−aΔxi=ϵb−a∑i=1nΔxi=ϵb−a(b−a)=ϵ
От където следва, че функцията е интегруема. Използвахме функцията δx, от равномерната непрекъснатост. И тъй като я 'извикахме' с аргумент ϵb−a, това гарантира,
че разликата по модул на всеки 2 променливи на разстояние по-малко от δделта е по-малка от ϵb−a. Точно това използвам и на реда в който ограничавам ωi (там където е звездичката над знака за ≤).

Критерий 2 (монотонност)
Теорема:
Ако f(x) е монотонна върху [a, b], то f(x) е интегруема върху [a, b].



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Интеграл на Риман 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.