Функции, определение


Категория на документа: Математика




Въпрос № 1 Функции . Класификация на различните видове функции.

Ще считаме , че на читателя е известно понятието променлива . Ако е даден един начин , чрез който на всяко едно значение на една променлива , наречена независима променлива съответства едно или няколко значения на една друга величина , то казваме , че между тези величини съществува функционална зависимост и , че втората величина е зависи или е функция на независимата променлива .

Функцията е също променлива и се нарича още функционална променлива или зависима променлива . Независимата променлива се нарича още аргумент. Обаче , може да се случи функцията да приеме едни и същи значения , когато независимата променлива се изменя. В такъв случай функцията е постоянна величина константа.

Практика : За изяснение на понятието функция ще дадем няколко примера :

Пример 1 : Дължината s на окръжността се изразява посредством радиуса и чрез зависимостта s = 2 r - тук казваме , че s е функция на r.

Пример 2 : Ако един идеален газ е затворен при постоянна температура в един съд с бутало , то между налягането р и обема v съществува зависимостта : v*p = C , където С е константа.

Това е така нареченият закон на Бойл - Мариот , който изразява функционална зависимост между налягането и обемът на газа.

Можем да определим обема , ако е дадено налягането и обратно:

, . Тогава казваме , че е функция на , съответно е функция на .

Последните два примера показват голямото приложение на понятието функция във геометрията и физиката .

Дефиниция : Една променлива се нарича функция на друга променлива , когато на всяка стойност на отговаря една или повече стойности на . В частен случай може да бъде и константа .

Изобщо означаваме , че е функция на със символа и се чете : равно на ,
или с , , , , ... , , ... , .
//Обяснение : Често се пише за съкращение , , ... Под тези символи ще разбираме , че функцията , за която се говори , е предварително определена или с някоя таблица , или с един или няколко аналитични израза , или пък с една графика . Например : .
Дефиниция : Една функция , се казва дефинирана (определена ) за една стойност на и се бележи , ако нейната стойност може да се пресметне , т.е. ако тя съществува
Дефиниционна област на дадена функция : Ако една функция е определена за всяка стойност от интервала (затворен или отворен ) , казваме , че тя е дефинирана в този интервал . Например една функция не е дефинирана за стойност на , когато анулира някой знаменател , или от гледището на реалния анализ - когато някой израз под четен корен става отрицателен .
Аналогично се дефинира една функция на повече независими променливи и се означава например за три независими променливи с .

Примери :

Пример 3 : Функцията , определена от , е дефинирана за всяко , т. е. в интервала .

Пример 4 : е една функция на , дефинирана в интервала .

Преди да се занимаем с класификацията на функциите , нека направим няколко исторически бележки относно развитието на понятието функция .

И така наченки на понятието функция могат са се намерят в астрономическите изследвания на древните вавилонци . Те са изобразявали положенията на различните небесни тела (Луната , Слънцето , планетите , кометите и звездите ) с таблици , което е един от начините на задаване на функции . С тези таблици те са можели да предсказват слънчеви и лунни затъмнения със забележителна точност . На понятието взаимно еднозначно изображение пръв обръща внимание Галилей (1564 - 1642) : той забелязва , че изображението f : n 2n , което съпоставя всяко естествено число // тук се предполага , че читателят е запознат с видовете числа : дробни , рационални , естествени , имагинерни , ирационални и прочие // n n-тото четно число , е взаимноеднозначно .

Галилей се учудва , че цялото , т.е. множеството на естествените числа , може да има същия брой елементи , както истинска негова част.

През миналият век Дедекинд даде първата точна дефиниция на крайно множество : множество , което не може да се изобрази взаимно еднозначно върху истинска своя част . Множествата , за които това е възможно , са безкрайните .

По-младият съвременник на Галилей - Рене Декарт ( 1596 - 1650) , създава аналитичната геометрия , в която с алгебрични средства се изучават различни видове криви : От своя страна кривите биват : Алгебрични : Астроида, Декартов лист, Елипса, Кардиоида, Конхоида на Никомед, Кръст, Къдрица на Анези, Лемниската на Бернули, Овал на Касини, Окръжност, Охлюв на Паскал, Парабола, Парабола на Нейл, Строфоида, Трисектриса, Хипербола, Цисоида
Трансцендентни : Архимедова спирала, Верижка, Епитрохоида, Епициклоида, Логаритмична спирала, Параболична спирала, Суперелипса, Трактриса, Трохоида, Хиперболична спирала, Хипотрохоида, Хипоциклоида, Циклоида
// Ще си позволя да запозная читателя/ките със следния линк : http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%B8 - това е Лемниската на Бернули , която е частен случай на
Овал на Касини или крива на Касини е плоска алгебрична крива от четвърта степен, представляваща множеството от точките, произведението на разстоянията от които до две зададени точки е постоянно число (лемниската с два фокуса).

В декартова координатна система с начало средата на отсечката между двата фокуса и абсциса по продължение на същата отсечка, уравнението на овала на Касини е



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Функции, определение 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.