Дискретна вероятност. Основни понятия.


Категория на документа: Математика


Да означим n-те опита с А1, А2,... Аn, а с В събитието: сбъдване на А от А1, А2... Аn точно к пъти (в к опита). Очевидно в поставената задача се търси Р(В)

Нека една комбинация от събитията А1, А2,.... Аn от к-ти клас е например следната: А1, А2... Аk. Събитието В ще се сбъдне, ако във всеки елемент от комбинацията се е сбъднало събитието А, но в останалите опити Аk + 1,...An се сбъдва събитието А.

В този случай имаме събитието АААА...А ААА....А { k пъти } {n - k пъти}

Неговата вероятност е Р.Р.....Р.qqqqq...q = Рk.qn-k. { k пъти } { n - k пъти}, където Р е вероятността за сбъдване на събитието А в един опит, q = 1 - Р вероятността да се сбъдне събитието А в един опит.

Нека имаме коя да е друга комбинация от к-ти клас от опити, в която се е сбъднало събитието А, а в останалите n - k опита да се е сбъднало събитието А. В този случай имаме събитието ААА...А, където А се е сбъднало к пъти, А { n - k пъти}

Вероятността на това събитие ще бъде също Рk.qn - k
Следователно при n-те опита имаме равновероятни възможности за сбъдване на събитието А точно к пъти (т.е. сбъдването на А к пъти и сбъдването на А n - k пъти). Те са толкова на брой, колкото са комбинациите от nелемента от к-ти клас, т.е. Cnk, и съответната вероятност е Рkqn-k.

Събитието В се сбъдва точно тогава, когато се сбъдне една от описаните Cnk, равновероятни комбинации и следователно В е сума от събитията, отговарящи на тези комбинации. Отук следва, тъй като събитията в отделните комбинации са независими събития, че вероятността на В е сума от вероятностите на тези Cnkсъбития. Но последните събития имат една и съща вероятност Рkqn-k.
Следователно: Р(В) = CnkРkqn - k

Обикновенно числото P(В) се записва с Рn,k. То означава вероятността в серията от n опита събитието A да се сбъдне точно k пъти, ако вероятността му за сбъдване в един кой да е опит е равна на P (имаме схемата на Бернули). И така:

Рn,k = Cnkpkqn - k

Полученото равенство се нарича Биномен закон поради участието на биномните коефициенти
Пример: Вероятността за спиране на електроенергията в едно селище през едно денонощие е равна на 0,01. Спирането на електроенергията не зависи от това, далие имало спиране или не през другите денонощия. Каква е вероятността?
а) Да няма спиране в продължение на 7 дни
б) Да има спиране само в едно денонощие
в) Да има спиране в две денонощия
....................................................
з) Да има спиране във всяко от седемте денонощия
Решение:
Прилагаме формулата
Рn, k = Cnkpkqn-k
при n = 7, p = 0,01, q = 1-0,01 = 0,99 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Имаме
Р7,0 = C60.0,010.0,997 ≈ 0,932
Р7,1 = C71.0,011.0,996 = 0,07.0,996 ≈ 0,659
Р7,2 = C72.0,012.0,995 = 0,0021.0,995 ≈ 0,002
Р7,3 = C73.0,013.0,994 = 0,000035.0,994 ≈ 0,00003
Р7,4 = C74.0,014.0,993 = 35.0.01>4.0,993 ≈ 0,0000003
Р7,5 = C75.0,015.0,992 = 35.0.01>5.0,992 ≈ 0,000000002
Р7,6 = Р7,7 ≈ 0




Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Дискретна вероятност. Основни понятия. 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.