Дискретна вероятност. Основни понятия.


Категория на документа: Математика


7. Формула за пълната вероятност

Нека А е едно произволно събитие, което се състои от несъвместимите събития A1, A 2..., An, т.е.:

А = A1 + A 2 + ... + An
то вероятността на събитието А е равна на сумата от вероятностите на събитията Аi, i = 1, 2, ...n :

P(A) = P(A1) + P(A2) + .... + P(An)

Ако събитията A1, A 2..., An образуват пълна група от несъвместими две по две събития, то:

A1 + A 2 + ... + An = U и

P(A1) + P(A2) + .... + P(An) = 1
Теорема за пълната вероятност е:

Нека събитията Н1, Н 2..., Нn, които ще наричаме хипотези, образуват пълна група събития:

P(Н1) + P(Н2) + .... + P(Нn) = 1

Вероятността за сбъдване на дадено събитие А съвместно с едно от събитията Н1, Н 2..., Нn се определя по формулата за пълната вероятност:

P(A) = P(Н1).P(A/H1) + P(Н2).P(A/H2) + .... + P(Нn).P(A/Hn)

8.Формула на Бейс

С формулата на Бейс се установява как влияе дадено събитие върху вероятностите на една пълна група от събития.

Съгласно формулата на Бейс, стойността на условната (апостеорна) вероятност Р(Нк/А) на хипотезата Нк, след като в опита се е реализирало събитието А, се определя по теоремата за хипотезите:

9. Схема на Бернули

Многократното извършване на един опит не може да стане при едни и същи условия. Вероятността на едно събитие изобщо зависи и от това, в кой опит се реализира събитието.

Има събития, вероятността на които не зависи от броя на опитите или тази зависимост може да се пренебрегне. Такова разглеждане на многократно повтарящи се опити, в които дадено събитие се реализира с една и съща вероятност, се нарича схема на Бернули.

Пример 1: При многократно повтаряне на един опит дадено събитие А се сбъдва по схемата на Бернули. Извършваме n опита. Ако вероятността за сбъдване на А в един опит е Р, на колко е равна вероятността за сбъдване на събитието в n-те опита?
Рещение: Имаме произведение от n равни събития А с вероятност Р. Търсената вероятност е Р(А...А) = [Р(А)]n = Рn

Пример 2: На колко е равна вероятността в поне един от горните опити да не се сбъдне даденото събитие А?
Решение: Събитието в n опита поне един път не е А е противоположно на събитието в n опита всеки път е А , което разгледахме в първия пример и за чиято вероятност намерихме числото Рn Следователно вероятността, че събитието в n опита не всеки път е А", е равна на 1 - Рn

Пример 3: На колко е равна вероятността събитието А(от пример1) да не се сбъдне нито един път в серия от n опита?
Решение: Описаното събитие е еквивалентно на събитието във всеки опит се сбъдва А, т.е. противоположното на А Съгласно първия пример вероятността на това събитие е [Р(А)]n = (1 - Р) n = qn, където q = 1 - Р

Пример 4: В един опит събитието А се сбъдва с вероятност Р. На колко е равна вероятността в серия от n опита то да се сбъдне поне един път?
Рещение: Нека В е събитието, чиято вероятност търсим. Очевидно противоположното на В е следното събитие: събитието А не се сбъдва нито един път. Но вероятността на последното, както намерихме в пример3, е равна на (1 - Р) n, откъдето следва, че Р(В) = 1 - (1 - Р)n.
10. Биномен закон

Нека решим следната задача. Едно събитие А се сбъдва с вероятност по-малка от 1/2. Извършваме n опита по схемата на Бернули. На колко е равна вероятността събитието А да се сбъдне точно к пъти(к ≤ n)?




Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Дискретна вероятност. Основни понятия. 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.