Дискретна вероятност. Основни понятия.


Категория на документа: Математика


Р(А + В) ≤ Р(А) +Р(В)

Теорема 6. Ако А1, А2, А3,..... Аn,е една пълна група от две по две несъвместими събития, в сила е равенството:

Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1

Следствие: Ако събитието А е изградено от елементарните събития А1, А2, ... Аn, т.е. ако А = А1 + А2 + ... + Аn,то

Р(А) = Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn)

Честота

Под честота на едно събитие разбираме частното от броя на сбъдванията му и броя на проведените опити.

Например, ако сме направили 50 опита с хвърляне на монета и ако 20 пъти тя е падала върху лицевата страна, то монетата е падала върху лицевата си страна с честота 20/50 = 0,4. При многократни серии от опити честотата на дадено събитие ще бъде приблизително една и съща. Това ценно качество на честотата има огромно приложно значение.

Свойства на честотата

А) Честотата е рационално число, заключено в затворения интервал [0,1]. И наистина по определение честотата е отношение на две цели положителни числа и при това числителят е по-малък или равен на знаменателя, защото събитието се сбъдва най-много толкова пъти, колкото са опитите.

Б) Ако едно събитие е сигурно, т.е. ако при всеки опит то по необходимост се сбъдва, неговата честота е равна на 1. Това е очевидно, тъй като в случая броят на сбъдванията на едно сигурно събитие е равен на броя на опитите.

В) Честотата на сумата на две несъвместими събития е равна на сумата от честотите им.
6. Условна вероятност

Дадени са две събития A и B. Ако сбъдването на събитието A зависи от това, дали се е сбъднало събитието B или не, казваме че A зависи от B. С Р(А/В) означаваме вероятността за сбъдването на събитието А при условие, че се е сбъднало събитието В. Тази вероятност се нарича условна вероятност.

Ако събитията A и B са независими, то P(A/B) = P(A) и P(В/А) = P(В), т.е.условните им вероятности са равни на съответните безусловни вероятности. За зависимите събития P(A/B) ≠ P(A).

Теорема: Ако А и В са две събития, то имаме равенството:

Р(АВ) = Р(А).Р(В/А) = Р(В).Р(А/В)

Пример: Каква е вероятността в серия от два опита да се сбъдне едно и също събитие?

Решение: Въвеждаме следните означения:
* Събитие А: сбъдване на събитието S при първи опит.
* Събитие В: сбъдване на събитието S при втори опит.
* Събитие С: сбъдване на събитието А и събитието В.

От теоремата за условната вероятност:

Р(С) = P(AB) = Р(А).Р(В/А) = Р(В).Р(А/В)

Събитията A и B са равновероятни Р(А) = Р(В) и независими, следователно P(AB) = P(A) и P(BА) = P(B). Тогава търсената вероятност на събитието С ще бъде:

Р(С) = P(AB) = Р(А).Р(ВА) = Р(А).Р(В) = Р(А)2.

Пример: Хвърляме два зара едновременно. Каква е вероятността единият зар да е паднал върху стена с четен брой точки, а вторият върху стена с не повече от три точки?

Решение: За първия зар имаме три благоприятни случая (брой на точките 2, 4, 6) и вероятността за него е 3/6. Благоприятните случаи на втория зар също са три (стена с 1, 2, 3 точки) и неговата вероятност е 1/2. Вероятността тези две събития да съвпаднат е 1/2 . 1/2 = 1/4



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Дискретна вероятност. Основни понятия. 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.